Abstract 計算してみるとそのとおりだが直感に合わないことに出会うことがある．私の場合，特に確率論でそのようなことが多いが，幾何学でもそういう場合がある．今回はそのような例を示そう． Vector projection and directional cosine 図1 に問題を示す．これは私の友人の Dietger が私に尋ねた問題である．任意の単位ベクトル \(\mathbf{h}\) が正規直交座標軸のある平面，ここでは\(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\)面に投影された場合を\(\mathbf{h}'\)とし，\(\mathbf{e}_1\)軸に投影された場合を\(\mathbf{h}_1\)とする．この時， \begin{eqnarray*} \cos \alpha &=& |\mathbf{h}'| \cos \phi \end{eqnarray*} を示せというものである．この\(\cos \alpha\) と\( \cos \phi\) に \(h'\)の長さの比があるというのは私には直感的に奇妙に思えた． Figure 1. Two projections of an unit vector \(\mathbf{h}\). しかし，これは投影であるから，それぞれが \(\cos\) の関係がある．まずは \(\mathbf{h}_1\) は \(\mathbf{h}\) の \(\mathbf{e}_1\) 軸への投影であるから \begin{eqnarray*} |\mathbf{h}_1| &=& \mathbf{h}\cdot\mathbf{e}_1\\ &=& |\mathbf{h}| |\mathbf{e}_1| \cos \alpha \\ &=& \cos \alpha \end{eqnarray*} である．また，\(\mathbf{h}'\) の\(\mathbf{e}_1\) 軸への投影が \(\mathbf{h}_1\)であることに気がつけば， \begin{eqnarray*} \mathbf{h}'\cdot\mathbf{e}_1